concepto de razones trigonometricas

 las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo  , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

concepto de angulos de elevacion y depresion

Ángulos verticales
Estos ángulos están contenidos en un plano vertical.
Si se desea realizar alguna observación ya sea de objetos o puntos determinados del espacio, se utiliza dos términos muy comunes: ángulos de elevación y ángulo de depresión. Estos ángulos son formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. La línea de visión une el ojo de un observador con el lugar observado.

Ángulo de elevación
Es el ángulo vertical  (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto o punto observado  se encuentra arriba de la línea horizontal.

Ángulo de depresión
Es el ángulo vertical  (agudo) formado por la línea horizontal y la línea visual cuan el objeto o punto observado  está debajo de la línea horizontal.

En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:

En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:

aplicacion de problemas de las razones trigonometricas y angulos de elevacion y depresion

1. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación?

m

El punto de observación está a 100 m. de la torre.
2. Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo de elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.

De esta figura podemos obtener dos ecuaciones:
    ;  
o sea    ;    
Despejamos x en ambas ecuaciones y por igualación obtenemos que 1,88y = 0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.
Reemplazando este valor de y, nos da que x = 78 metros.
La altura del edificio es de 78 metros.

concepto de funciones trigonometricas

1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:

4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

descripcion y muestra de graficas de funciones trigonometricas

Las gráficas de las funciones trigonométricas  poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.

Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función. En la figura de abajo se presentan algunas gráficas de funciones trigonométricas.

     Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que yrepresenta el alcance (imágenes).

     Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Veamos cada función particular en detalle.

     El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.

Gráfica de la Función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=sen(x).

Su dominio es el conjunto de números reales

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π/2,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (3π/2,-1).

Su periodo es 2π.

race la gráfica de la función f(x) = -2sen(x+π/2) + 1.

Solución:

Características:    El alcance es el conjunto de imágenes correspondientes al intervalo [-1, 3].    La intersección en el eje de y es el punto (0, -1).    Tiene máximo en el punto (π, 3) y el mínimo en el punto (0, -3) .    El periodo de esta función es 2π .

Problemas de aplicacion de las funciones trigonometricas

Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

1. Primero encontraremos el valor de la ecuación que nos hace falta, en éste caso, ya que sabemos que la función de Coseno relaciona Lado Adyacente sobre Hipotenusa, ya conocemos dichos valores, nos faltaría encontrar Lado Opuesto:

2. Ahora conociendo el valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar cada una de las funciones que hacen falta:

3. Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

1. Resolvamos primero la Fracción Mixta 

Multiplicamos 2 x 3 y el resultado lo sumamos con el 1 dándonos como resultado 7/2.

2. Ahora encontramos el valor que hace falta:

Sustituimos valores:

3. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

4. Seguidamente graficamos:

Forma de determinar las identidades trigonométricas.

De acuerdo al teorema de pitagoras


El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:

Ejercicios de identidades trigonometricas

aquí se muestran algunos ejemplos de como resolver ejercios.

1. 
2. 
3. 

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS